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 Présentation de la Série I

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Volume I/6

Premiers textes de mécanique céleste 1747-1749

Ouvrage publié sous la direction de Michelle Chapront-Touzé,
chercheur à l'Observatoire de Paris

Après un premier mémoire d'astronomie (p. 1-24) publié à Berlin en 1749, le volume est, pour l'essentiel, consacré aux premiers textes connus de d'Alembert sur le problème des trois corps, en particulier sur la théorie de la Lune. Il s'agit de deux mémoires (p. 27-58 et p. 137-160) publiés à Paris en 1749 dans les Mémoires de l'Académie royale des sciences pour l'année 1745, d'un mémoire inédit (p. 61-124) lu devant l'Académie en juin 1747 à la suite du premier des deux mémoires précédents, de deux plis cachetés (p. 125-136) déposés à l'Académie en décembre 1747, et d'un véritable traité inédit (p. 161-483) désigné dans cette édition sous le titre Théorie de la Lune de 1748. Le manuscrit autographe de ce traité et celui du mémoire inédit constituent le recueil de cote 2757 dans le fonds Rothschild de la Bibliothèque nationale de France. Les plis cachetés appartiennent aux Archives de l'Académie des sciences, qui possèdent également, dans leurs registres, des copies des trois autres mémoires.

Les années 1740 voient les premières tentatives de solution globale pour le mouvement de la Lune autour de la Terre, perturbé par le Soleil ou pour le mouvement d'une planète autour du Soleil, perturbé par une autre planète. La solution repose sur l'intégration d'un système d'équations différentielles établies à partir de la loi newtonienne de la gravitation, en supposant les corps assimilables à des points. Trois géomètres, Clairaut, d'Alembert et Euler s'attaquent au problème de la Lune. Clairaut et d'Alembert, dans leurs écrits de l'époque, posent le principe de la résolution du système d'équations différentielles d'une manière itérative. Mais, de même qu'Euler qui les a précédés de quelques années, ils ne réalisent, au cours de l'année 1747, que la première itération en substituant une solution pseudo-képlérienne à la position réelle de la Lune dans le calcul des forces perturbatrices. Pour cette raison, ils n'obtiennent tous trois que la moitié environ du moyen mouvement observé des apsides de la Lune, sans soupçonner que les itérations suivantes puissent fournir, pour cette quantité, une contribution aussi importante que la première.

Les limites chronologiques du volume sont celles d'une crise : la loi newtonienne de la gravitation universelle doit-elle être remise en question ? C'est l'avis de Clairaut, qui, à la séance publique de l'Académie le 15 novembre 1747, propose d'ajouter un terme à l'expression newtonienne inversement proportionnelle au carré de la distance. Ce sera aussi l'avis d'Euler, qui joint au problème posé par la théorie de la Lune des différences inexpliquées entre sa théorie du couple Jupiter -- Saturne (sujet du prix de l'Académie pour 1748) et l'observation. Buffon, au contraire, provoque une polémique contre Clairaut, en faveur de la loi newtonienne. Ces difficultés font l'objet d'une correspondance abondante de d'Alembert et de Clairaut avec Euler et le mathématicien genevois Gabriel Cramer. D'Alembert, sans participer à la polémique, cherche à expliquer le phénomène du mouvement des apsides de la Lune, soit par la figure des corps, soit par une force magnétique propre à la Terre.

La crise prendra fin en 1749, après que Clairaut se soit rétracté, le 17 mai, en annonçant devant l'Académie qu'il avait réussi à calculer une valeur du moyen mouvement des apsides de la Lune conforme à l'observation sans sortir du cadre newtonien.

En juin 1747, d'Alembert lit, devant l'Académie, les résultats d'une première théorie de la Lune et d'une théorie des perturbations apportées par la Lune au mouvement de la Terre (p. 61-124). Les calculs sont basés sur la méthode générale exposée dans un mémoire précédent (p. 27-58), mais l'intégration est réalisée en considérant l'orbite de la Lune comme une suite d'arcs d'une période ou d'une demi-période. Le procédé, peu commode, est abandonné, mais d'Alembert continue à travailler sur la théorie de la Lune, puisqu'en novembre et décembre 1747 il dépose à l'Académie plusieurs plis cachetés sur ce sujet. Dans les premiers plis, actuellement perdus, il constatait que sa valeur théorique du moyen mouvement des apsides était la moitié de la valeur observée, sans connaître encore les résultats analogues d'Euler et de Clairaut. D'après les Recherches sur différens points importans du systême du monde, il donnait également la méthode à suivre pour obtenir des expressions de plus en plus précises de ce moyen mouvement par itération.

L'expression du moyen mouvement des apsides apparaît, avec quelques éléments de la nouvelle théorie de la Lune, dans le mémoire (p. 137-160) lu par d'Alembert devant l'Académie en février -- mars 1748. Mais sa correspondance de 1748 montre qu'il pense à la publication d'un ouvrage plus général sur le mouvement des corps célestes dans le système newtonien ; elle permet de suivre également les difficultés qu'il rencontre dans la construction de sa théorie de la Lune et les progrès réalisés. En août 1748, il estime à 15'la différence entre son expression de la longitude et celle qu'il tire de la Lunae theoria newtoniana (voir I.B. Cohen : Newton's Theory of the Moon's motion (1702), Londres, 1975), si l'on ne considère que les termes périodiques. Mais le problème posé par le moyen mouvement des apsides demeure. D'Alembert abandonne ensuite la théorie de la Lune pour se consacrer à l'étude de la précession des équinoxes, qu'il envisage d'inclure dans son traité général sur le système newtonien. Mais au début de mai 1749, il a changé d'avis puisqu'il écrit à Cramer que ses Recherches sur la précession des équinoxes (Série I, volume 7 de la présente édition, à paraître) sont sous presse.

Le 18 mai 1749 -- le lendemain de la rétractation de Clairaut -- d'Alembert confie ses manuscrits sur la théorie de la Lune au secrétaire perpétuel de l'Académie des science. Ce sont ces textes, rédigés en vue de leur insertion dans l'ouvrage sur le système newtonien auquel avait pensé d'Alembert, que nous publions sous le titre : Théorie de la Lune de 1748, après remise en ordre des différentes parties et numérotation des chapitres et des articles.

La Théorie de la Lune de 1748 constitue une théorie complète du mouvement de la Lune -- dans les hypothèses du problème des trois corps : Terre, Lune, Soleil --, puisqu'elle fournit des expressions de toutes les composantes du mouvement à une certaine approximation.
Première théorie littérale de la Lune connue, elle permet d'observer la naissance des méthodes propres à ce type de solution.
Elle apparaît ainsi comme préliminaire à la théorie du Livre I des Recherches sur le systême du monde. La différence principale concerne le moyen mouvement des apsides qui reste la moitié de la valeur observée, bien qu'un chapitre (p. 455-483) -- reprenant sans doute le contenu du pli cacheté de novembre 1747 -- expose, sans l'appliquer, la méthode d'amélioration qui sera utilisée dans les Recherches.
A ce titre, la Théorie de la Lune de 1748 apporte de précieuses informations sur la position de d'Alembert au cours de la crise et un chapitre (p. 245-289) est consacré à ses tentatives pour expliquer le phénomène présenté par le moyen mouvement des apsides, ainsi qu'à l'interprétation de textes de Newton et de ses commentateurs.
Un autre problème, que d'Alembert semble avoir été le seul de son époque à évoquer, est celui de l'équation (c'est-à-dire de la variation périodique) de l'apogée donnée par Newton, qui ne s'accorde pas avec la nouvelle théorie. Mais sur ce point, les théories modernes montrent que d'Alembert a raison, comme il finit lui-même par s'en convaincre.

Les ratures et corrections du manuscrit -- dont l'édition essaie de rendre compte -- traduisent les difficultés rencontrées par d'Alembert au cours de l'élaboration de sa théorie et les erreurs faites, puis corrigées, dont sa correspondance se fait l'écho. On en verra un exemple avec le Corollaire général (p. 443-446), qui sert de conclusion à la Théorie de la Lune de 1748, si l'on excepte le texte supplémentaire sur l'amélioration du moyen mouvement calculé des apsides.

Actualités

Documents sur le volume

Sommaire
Comptes-rendus

- Journal for the History of
Astronomy, 2003 [consulter]

D'ALEMBERT'S LUNAR THEORY

Jean Le Rond D'Alembert, Oeuvres Complètes, Série l, Traités et mémoires mathématiques, -1736-1756, vi: Premiers textes de mécanique céleste (1747-1749).Edited by Michelle Chapront-Touzé (CNRS Editions, Paris, 2002). Pp. cxii + 534. €60. ISBN 2 27106013 3.

ln the spring of 1746 Clairaut and d'Alembert set out to formulate the three-body problem analytically, then solve ît for the Moon's motion. Euler had embarked on the same task earlier. The approaches of the three theorists differed, but were alike in assuming, to start with, an elliptical orbît of the Moon about the Earth. Proceeding to the first-order perturbations, they found, for aIl the known lunar inequalities save one, reasonab1y good values. The exception was the motion of the lunar apse, for which they obtained only about half the observed value. They jumped to the conclusion thatNewton's inverse-square law had to be modified (Euler and Clairaut), or supplemented by a non-gravitationa1 force (d'Alembert). Then Clairaut, in early 1749, ca1culated the apsidal motion to second-order terms and obtained nearly aU the observed values - a triumph for Newton's law. The slow convergence might nevertheless be read as warning of trouble ahead.
Our one source for d' Alembert's lunar theory has until recently been his Recherches sur differens points importans du système du monde, i (1754). His earlier work on the problem had, at his request, remained unpublished. Volume 1.vi of the Oeuvres complètes now makes availablè, for the first time, aIl the extant earlier work. ln editing this volume, Michelle Chapront- Touzé has invested extraordinary care and expertise. An "Introduction générale" (pp. xvii-lxxii) gives needed background. A "Table analytique" (pp. xci-cix) recapitulates in d~tail the contents of each memoir. Each memoir is extensively footnoted. The longest memoir (pp. 163-481), here entitled "Théorie de la lune de 1748", has been reassembled from disorganized manu scripts at the Bibliothèque Nationale; it is the immediate predecessor to the lunar theory of the Re.cherches. The volume conc1udes with a glossary of techni" cal terms, a bibliography, and indices of names and topics. The whole is a superb piece of scholarship, opening up d'Alembert's early foray into celestial mechanics to investigation.
Unlike Clairaut and Euler, d'Alembert devoted much attention to Newton's luriar theory, in the version given by Le Monnier (in his Institutions astronomique, 1746). The tables derived from the theory, Le Monnier c1aimed, agreed with observation to 5 arcminutes or better. Trans1ating them into trigonometric form, d'Alembert compared them with his analytic theory. The translation and comparison deserve special study for light they may shed on Newton's theory. Among other discoveries, d'Alembert found that the oscillating apsides Newton had borrowed from Horrocks did not agree with the apsides determined as the points where orbit and radius vector are perpendicular.
Both Clairaut and d'Alembert, from the start of their lunar labours, expected that successive approximations would be required. Yet after carrying out only the first-, order approximation, they conc1uded that the higher-order approximations çould not yield the as-yet-unaccounted-for apsidaI motion: why? The 50% error in the apsidaI motion compared badly with the very respectable values obtained for theother inequaIities. D'Alembert calculated the motion of the lunar nodes to second-order terms, and found them relatively negligible. Both Euier and Clairaut, inproposing to modify Newton's gravitationallaw, were moved by speculative considerations - a material cause for gravitational forces or the extension of a modified law of attraction to account for capillary or chemical force,':D'Alembert was,uninoved such speculations. Clairaut's reversaI in 1749 must have given him mixed satisfaction that Newton's law had been vindicated, chagrin that he, like his rivals, had too precipitately conc1uded it to be insufficient.
Five years later, in his Recherches, d'Alembert carried the calculation of the apsidal motion to the fourth-order approximation; he was the first to obtain explicitly algebraic formulas for the early terms. Should further terms be calculated, he remarked, their convergence to the observed resuIt was not guaranteed. A century and a quarter later G. W. Hill would conc1ude that slow convergence made the method adopted in traditionallunar theory unacceptable. The Sun's force on the Moon, more than twice the Earth's force, needed to be taken into account from the start.
ln important ways, d'Alembert was an inventive and insightful investigator in the areas of continuum mechanics and celestial mechanics, during the dozen or so years of his intense investment of himself in these studies. But he was a poor expositor, and his ideas also present intrinsic difficulties. Students seeking to assess his contributions to celestial mechanics mustbe immensely grateful to Dr Chapront-Touzé for bringing the early memoirs into print and facilitating in innumerable ways our access to them.
St John's College, Annapolis
CURTIS WILSON

- Historia Mathematica 31, 2004 [consulter]
- Quadrature 53, sept. 2004 [consulter]